Na początku najważniejsze fakty:
Karta zainstalowana w laptopie - 3Com 3CN3ACX556 (3Com 10/100 Mini PCI Ethernet Adapter);
Sposób połączenia - kabel.

Skonfigurowałem kartę sieciową, po czym uruchomiłem Internet Explorera 5.0 i na próbę się połączyłem z Google - strona się wczytała.
Pomyślałem aby zaktualizować IE do wersji 6.0 - zaktualizowałem, zrestartowałem laptopa, włączyłem IE... i już się ŻADNA strona nie wczytuje (nie znajduje serwera).
Tak, laptop jest widoczny w panelu routera.

Jakieś pomysły jakby tu przywrócić łączność ze światem?

Jeżeli laptop jest widoczny po stronie routera to na 99% problem jest w konfiguracji karty lub przeglądarki. Kilka rzeczy, które warto sprawdzić na początek:
1. Czy możesz pingować router? (Skoro wcześniej się połączyłeś z Google'em to to powinno zadziałać na bank)
2. Masz pewność, że podałeś poprawne adresy DNS?
3. Wiele stron działa dzisiaj na HTTPS często wymuszając szyfrowane połączenie, a IE6 posiada zdeprecjonowaną wersję SSL i domyślnie wyłączony TLS. W ustawieniach przeglądarki spróbuj uruchomić TLS1.0. To z pewnością powinno odblokować dostęp do wielu zabezpieczonych stron.



4. Sprawdź, czy wczytuje ci się http://deltacity.stare.pro- tutaj nie ma forsowania HTTPS.

Jeżeli uda ci się wejść na jakąkolwiek stronę i tak rozważ użycie jakiejś starej wersji Firefoxa. Z tego co pamiętam, powinien być zdecydowanie bardziej kompatybilny ze współczesnym internetem.

Dzięki za szybką odpowiedź - a więc tak:
Włączyłem TLS 1.0, a ping przechodzi bez problemu.
Jeśli chodzi o DNS-y - nie ustawiałem ich. W zakładce "konfiguracja DNS" w ustawieniach protokołu TCP/IP karty sieciowej, DNS-y są wyłączone.

Delta City wchodzi, zwykła strona nie. Spróbowałem niektóre antyczne strony typu ALIWEB, DPGraph czy Arngren - pierwsza dwójka się załadowała, trzecia: błąd "nie można wyświetlić strony" (na głównym komputerze wchodzi).
Zapewne czeka mnie więc zmiana przeglądarki.

Ustaw statyczne DNSy (8.8.8.8, 8.8.4.4 - nie ufam cloudflare :P), zmień ustawienia zabezpieczeń internetowych (poziomy zaufania, najlepiej ustawić na najwyższy, bo w dzisiejszych czasach to i tak nic nie daje).
Jeśli to nic nie da, a hardware na to pozwala, rekomendowałbym wrzucenie tam Firefox95 lub SeaMonkey95 od ToastyTech'a. Jeśli obydwie opcje będą ciut wolne, rekomenduje jakiegoś starego Netscape (2.0 do 4) lub Operę (~13, but don't quote me on that)

Nie ma czegoś takiego jak Opera 13 xD W przypadku Opery ta tabelka, z zastrzeżeniem, że z KernelExem na 98/SE/Me 12.02.

Ups.

Also, co do szybkości sprzętu i przeglądarek - patrząc na Twój mpcl nie mam większych wątpliwości, że Celeron 900MHz będzie wystarczający do Firefox95/Seamonkey95. Co więcej, w takim przypadku proponowałbym coś, co zmarnuje ci więcej cykli procesora Firefoxa 2.0 lub nowszego, nawet wliczając nieśmiertelną wersje 3.6.

Może to głupie ale nie masz zainstalowanego jakiegoś antywirusa/blokady sieciowej? Po aktualizacji danej przeglądarki, nowy plik wykonywalny jest często traktowany jako inny program...

Jak dla mnie problemem jest to, że wiele stron ma na stałe wpisanie blokowanie jakichkolwiek połączeń z IE6 (prawdopodobnie poprzez user-agent). Co ciekawe już nikogo nie obchodzi IE5, znamienitym przykładem jest Google co sam zauważyłeś.
Spróbuj zmienić user-agent w IE6.
Firefox 2.0.0.20, lub 3.6.28 z KernelEx'em powinien być odpowiednim wyborem.
A jeżeli masz trochę więcej czasu i lubisz eksperymentować to zobacz też to:
https://retrosystemsrevival.blogspot.com/2018/05/k-meleon-74-windows-9x-edition.html